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量子と古典の物理と幾何@東大先端研

日時 :
2019/08/02 (金) 10:00 ~ 2019/08/03 (土) 17:00
定員 :
80人
会場 :
東京大学 先端科学技術研究センター( 〒153-8904 東京都目黒区駒場4丁目6番1号)
主催者 :

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開かれた研究会ですので、大学・研究機関以外の人の参加もお待ちしてます。

メーリングリストがあります。参加希望の方は深川(ここをクリック)に連絡お願いします。

二日間にわたって、物理と幾何に関連して講演と討論を行います。
世話人 後藤振一郎 谷村省吾 深川宏樹 中田陽介

詳しい内容は、近々公開します。

スケジュール
1日目(8月2日金曜日)
清水雄貴(京都大学)「流れ場の幾何構造から見た曲面上の流体力学」
李 宰河(東京大学)「古典物理量の量子化と複素数値の確率概念」
谷村省吾(名古屋大学)「捩形式の定義・描像・応用」
井ノ口順一(筑波大学)「3次元接触幾何と磁場軌道」
吉村浩明(早稲田大学)「非平衡熱力学系の変分的定式化と幾何学的構造」
佐々真一(京都大学)「ネーター不変量としてのエントロピー:古典、量子、確率過程」

懇親会 4000円

2日目(8月3日土曜日)
中田陽介(東京大学)「タム状態のトポロジカルな起源」
中村 匡(福井県立大学)「電磁場のディラック方程式とスピノル場のマックスウェル方程式」
古賀 実(名古屋大学)「量子論理における二値束準同型写像の非存在について」
作道直幸(東京大学)「ゴム・ゲルの物理に関する最近の話題」
深川宏樹(DeepFlow株式会社)「微分幾何学からみた数値解析-VINOCLOUD-」

講演内容
一日目
==
清水雄貴(京都大学)「流れ場の幾何構造から見た曲面上の流体力学」

 Euler(1755)はEuclid空間上の非圧縮非粘性流体方程式であるEuler方程式を導出し,それから約二百年後にArnold(1966)はEuler方程式をRiemann多様体へ拡張した.多様体上の流体運動を定式化する際,Euclid空間への埋め込みを仮定し拘束系として流体方程式を導出する場合,外在幾何による影響で流れ場の内在幾何が流れにどのように作用するかが不明瞭となる.一方Arnoldによる定式化では外在幾何の存在を仮定しないため,流れ場の幾何構造とそれが流れに及ぼす作用を直接関連づけることが可能となる.
 そこで本研究では曲面上の流体運動が空間の幾何構造によってどのような影響を受けるかを考える.本講演では,はじめに曲面上の渦力学と粘性項問題について概説したのち,曲面上の流体方程式に対する厳密解を用いた理論解析を行う上で不可欠な流体力学的Green関数の解析表示を導出する.

李 宰河(東京大学)「古典物理量の量子化と複素数値の確率概念」
 前世紀初頭の量子論の発見は、共に物理学における基本概念である「物理量(可観測量、observable)」および「状態」の両概念に対して、その古典的描像の革新をもたらした。さて、量子論における物理量の性質を探るにあたって、古くから古典物理量の「量子化」の手法が知られている。ところが、このような「量子化」の具体的な構成法には(所謂 ordering の自由度に由来する)Planck 定数 ℏ 程度の本質的な不定性が存在するため、歴史的に様々な提案が個別になされてきた。他方、量子論における状態概念に対する確率解釈の試みは、操作的には不確定性原理によって阻まれるが、形式的には確率概念を一般に複素数値にまで拡張した「擬確率」の概念を導入することで実現できることが知られている。このような仮想的な「擬確率」について、これを広義の確率概念として整合的に構成する方法もやはり一意ではなく、歴史的にも数多くの構成法が独自に提案されてきた。本講演では、物理量・状態の両概念の双対性に着目することで、このような「量子化」や「擬確率」の問題を統一的かつ見通しよく俯瞰する上での一般的な枠組を紹介する。また、本枠組の応用先として、余裕があれば不確定性関係の定式化に関する最近の結果を紹介したい。

参考文献:Reality and Measurement in Algebraic Quantum Theory, Chapter 9, pp 195-228 (Springer, 2018). (ここをクリック)

谷村 省吾(名古屋大学)「捩形式の定義・描像・応用」

 擬スカラーとスカラー、あるいは、極性ベクトルと軸性ベクトルと呼ばれる物理量があり、それぞれ、空間反転に伴って符合反転する量と変わらない量を指す。そのような物理量を紛れなく分類・記述する概念装置として、捩ベクトルあるいは捩形式という数学概念がある。ここでは、これらの概念の定義と幾何学的描像を解説し、電磁場の記述への応用例を紹介したい。この流儀では、電場Eは1次微分形式、電束密度Dは捩2次微分形式、いわゆる磁場Hは捩1次微分形式、いわゆる磁束密度Bは2次微分形式、電荷密度は捩3次微分形式、電流密度は捩2次微分形式である。ついでながら、捩形式を用いると、向き付け不可能な多様体でもホッジ変換が定義できるし、その方が自然な定義であることがわかる。

参考文献:『幾何学から物理学へ』(ここをクリック)(サイエンス社、SGCライブラリ、2019年6月下旬刊行予定)

井ノ口順一(筑波大学)「3次元接触幾何と磁場軌道」

 電磁気学における磁束密度は2次微分形式と捉えられる.この観点からローレンツ方程式を一般次元のリーマン多様体に拡張できる.リーマン多様体上の磁場軌道はハミルトン力学系を定めている.アーノルドは1961年にリーマン多様体上のローレンツ方程式を論じており1980年代から周期軌道の存在を問う問題を提起している.
 この提案以来,ローレンツ方程式の周期軌道の存在と分類を中心的な課題として研究が継続している.
 本講演では,元来の3次元に立ち返り,3次元リーマン多様体の磁場軌道を考察対象とする.種々の考察により3次元多様体の接触構造と磁場の間の関連が見えてくることを報告する.

参考文献 Magnetic curves in the real special linear group(ここをクリック)

情報:数学者 井ノ口順一先生4回講義『やさしいリー群』(ここをクリック)
グランデ(神保町)
2019年06月05日(水) 19:00~20:30(開場18:45)
2019年06月12日(水) 19:00~20:30(開場18:45)
2019年06月19日(水) 19:00~20:30(開場18:45)
2019年06月26日(水) 19:00~20:30(開場18:45)

吉村浩明(早稲田大学)「非平衡熱力学系の変分的定式化と幾何学的構造」

 非平衡熱力学系の定式化に関連して,あるクラスの非線形かつ非ホロノミックな力学系に対する一般化ラグランジュ・ダランベール原理を拡張した変分的定式化手法について述べる.また,その背後に潜む幾何学的構造として熱力学的相空間上に様々なディラック構造が存在することを示し,その上で,それらに付随
した一般化ラグランジュ・ディラック系やハミルトン・ディラック系について解説する.例として,抵抗を含む回路,化学反応系,物質輸送を含む膜系などの有限次元のinterconnected系,及び無限次元の連続体力学系への拡張を示す.

佐々真一(京都大学)「ネーター不変量としてのエントロピー:古典、量子、確率過程」

 古典粒子多体系において、ネーター不変量としてのエントロピーが定式化され(Sasa, Yokokura, PRL, 2016)て以来、その「真の意味」を模索しつづけている。特に、「熱力学的に整合した軌道群に制限した対称性」の意味を明らかにするために、「熱力学的作用」を量子論の設定で導出しその対称性を議論し、ネーター不変量としてのエントロピーを導出した。(Sasa, Sugiura, Yokokura, PR E 2019).また、古典粒子多体系を粗視化した記述として得られる確率過程において、ネーター不変量としての対称性も議論した。(Minami, Sasa, in preparation)
講演では、ネーター不変量としてのエントロピーについて、現在までに理解している状況を整理し、今後の展望について紹介したい。

二日目
==
中田陽介(東京大学)「タム状態のトポロジカルな起源」

 結晶の欠陥や表面に局在状態が現れることは非常に良く知られている。こうした局在状態は半導体へのキャリアドーピングなどの観点でも非常に重要である。特に1次元結晶に現れる局在状態はタム状態と呼ばれる。タム状態は最も単純な局在状態であるがその生成機構の本質的な理解はより複雑な局在状態形成を議論する際にも極めて重要になる。タム状態については1932年のタムによる研究にはじまり様々な研究がなされてきた。しかしながら、「なぜタム状態が現れるのか?」という基礎的な問に対してこれまでに上手く答えた研究はなかったと思う。本講演ではタム状態のトポロジカルな起源を説明する。また提案する機構によって実際にタム状態が生成されることを実験的に検証した結果についても報告する。

参考文献: 論文(ここをクリック)

中村 匡(福井県立大学)「電磁場のディラック方程式とスピノル場のマックスウェル方程式」

 ディラック方程式とマックスウェル方程式は,一見,全く違った構造をしているように思われる。しかし,同じ相対論的基礎方程式ならば,なにかしら同様の構造をもっているはずである。もし,同じ形の方程式にスピノルを入れるとディラック,ベクトルを入れるとマックスウェル,という具合になったら,Object-Oriented で気持ちいいのではなかろうか?
 これは実際に可能で, Hestenes (ここをクリック)はクリフォード代数を使って,マックスウェル方程式とディラック方程式が同様の形式で書けることを示した。ということは,クリフォード代数を使わずに(1)電磁場をディラック方程式と同じような行列形式で書く,(2)スピノル場をマックスウェル方程式と同じようなベクトル解析の形に書く,というのも可能であろう。講演ではこれを解説する。

古賀 実(名古屋大学)「量子論理における二値束準同型写像の非存在について」

 量子力学における観測命題は,Hilbert空間の閉部分空間あるいは射影子で表現され,包含関係や作用素の順序によって束を成す.この束を量子論理と呼ぶ.
一方,古典力学における観測命題は,相空間の部分集合で表現され,包含関係を順序としてBoole代数を成す.
各命題に真理値を割り当てる関数は,束における二値束準同型写像と呼ばれるものに対応する.
Boole代数などの分配束は,その二値束準同型写像全体から元の分配束が復元できる.
この意味で,分配束には十分な二値束準同型写像が存在すると言えるが,量子論理においては二値束準同型写像は存在しないことが示される.
二値束準同型写像の非存在はある種のno-go定理と考えられるが,従来のno-go定理の定式化では「分散の無い状態」概念が用いられる事が多い.
本発表では,量子論理の導入から始めて幾つかの簡単な性質を確認した後,二値束準同型写像の非存在と従来のno-go定理との関連について紹介する.
時間があれば,二値束準同型写像の存在と射影子の可換性・分配性との関連についても紹介する.

作道直幸(東京大学)「ゴム・ゲルの物理に関する最近の話題」

 1947年、久保亮五氏の著書「ゴム弾性」が出版された。それから80年以上が経ち、現在の日本では、理論物理学者によるゴムの研究はほとんど行われなくなった。しかし、その間にも、工学者・化学者・企業研究者による研究は脈々と続けられてきた。
 本講演では、特定のゴム・ゲルに関する話題では無く、様々なゴム・ゲルについて成り立つ普遍的な性質について、専門外の物理学者・数学者向けに解説する。具体的には、私の携わった以下の最近の話題について講演する。
(1)ゴムの亀裂進展における速度ジャンプ現象
(2)ゲルにおける負のエネルギー弾性
(3)ゲルの浸透圧の普遍的スケーリング則
本講演を通じて、ゴム・ゲルの物理に関する本質的な理解が深まりつつあることを感じていただければ幸いである。

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